Бағдарлама

9 сынып

Квадраттық функция, прогрессиялар, тригонометрия, ықтималдық

Бөлімдер

1-бөлім

Теория

9 сынып бағдарламасының барлық тақырыптары

∪

Квадраттық функция

y = ax² + bx + c — квадраттық функция. Графигі — парабола. Төбе нүктесінің координаталары: x₀ = −b/2a, y₀ = f(x₀).

y = ax² + bx + c
Төбе: x₀ = −b/(2a)

a > 0 — тармақтары жоғары
a < 0 — тармақтары төмен

+

Арифметикалық прогрессия

Әр келесі мүшесі алдыңғыдан тұрақты d санға өзгеретін тізбек. d — айырым.

aₙ = a₁ + (n−1)d
Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

2, 5, 8, 11, 14, ... d = 3
S₅ = 5·(2+14)/2 = 40

×

Геометриялық прогрессия

Әр келесі мүшесі алдыңғыға тұрақты q санға көбейтілетін тізбек. q — еселік.

bₙ = b₁ · q^(n−1)
Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1)

3, 6, 12, 24, 48, ... q = 2
S₄ = 3·(16−1)/(2−1) = 45

∠

Тригонометрия негіздері

Тікбұрышты үшбұрышта sin, cos, tg — қабырғалардың қатынастары.

sin α = қарсы / гипотенуза
cos α = жанасу / гипотенуза
tg α = қарсы / жанасу

sin 30° = ½, cos 60° = ½
sin 45° = cos 45° = √2/2

²+²

Тригонометриялық тепе-теңдіктер

Тригонометрияның негізгі тепе-теңдіктері — есептерді шешуге көмектеседі.

sin²α + cos²α = 1
tg α = sin α / cos α

sin α = 3/5 болса:
cos²α = 1 − 9/25 = 16/25 → cos α = 4/5

P

Ықтималдық

Ықтималдық — қандай да бір оқиғаның болу мүмкіндігі (0-ден 1-ге дейін).

P(A) = m / n
m — қолайлы, n — барлық жағдай

Қалыпты текшеде 4-тен үлкен сан түсу:
P = 2/6 = 1/3 (5 және 6)

2-бөлім

Жаттығулар

Алдымен өзің шеш, содан кейін жауапты қара

1-есеп

y = x² − 4x + 3 параболасының төбе нүктесін тап.

Жауап

(2; −1)
x₀ = −(−4)/2 = 2
y₀ = 4 − 8 + 3 = −1

2-есеп

Арифметикалық прогрессияда a₁ = 3, d = 4. a₁₀ табыңыз.

Жауап

a₁₀ = 39
aₙ = a₁ + (n−1)d
a₁₀ = 3 + 9·4 = 3 + 36 = 39

3-есеп

Геометриялық прогрессияда b₁ = 2, q = 3. Алғашқы 5 мүшенің қосындысын тап.

Жауап

S₅ = 242
S₅ = 2·(3⁵ − 1)/(3 − 1)
= 2·(243 − 1)/2 = 242

4-есеп

Тікбұрышты үшбұрышта қарсы катет 3, гипотенуза 5. sin α неге тең?

Жауап

sin α = 0.6
sin α = қарсы/гипотенуза
sin α = 3/5 = 0.6

5-есеп

cos α = 0.8. sin α-ны тап (α — сүйір бұрыш).

Жауап

sin α = 0.6
sin²α + cos²α = 1
sin²α = 1 − 0.64 = 0.36
sin α = 0.6 (оң, өйткені α сүйір)

6-есеп

Қалыпты текшеде жұп сан түсу ықтималдығы қанша?

Жауап

P = ½
Жұп сандар: 2, 4, 6 — 3 жағдай
Барлығы: 6 жағдай
P = 3/6 = ½

3-бөлім

Тест

8 сұрақ, автоматты тексеру

1 / 8

Сұрақ 1

Тест аяқталды!

0 / 8

4-бөлім

Калькулятор

Парабола төбесін тап немесе прогрессияны есепте

y = ax² + bx + c — төбе мен бағыты

y = x² − 4x + 3

Нәтиже

(2; −1)

x₀ = −b/2a = 4/2 = 2
y₀ = 4 − 8 + 3 = −1
Тармақтары: жоғары ↑

Прогрессия түрі

a₁ / b₁

d

n

Нәтиже

a₁₀ = 39, S₁₀ = 210

aₙ = a₁ + (n−1)d = 3 + 9·4 = 39
Sₙ = n(a₁+aₙ)/2 = 10·42/2 = 210

5-бөлім

Шпаргалка

Бақылау жұмысы алдында тез қарап шық

Квадраттық функция

y = ax² + bx + c

Жалпы түр

x₀ = −b/(2a)

Төбенің абсциссасы

y₀ = f(x₀)

Төбенің ординатасы

Бағыт:
a > 0 — тармақтары жоғары ↑ (минимум)
a < 0 — тармақтары төмен ↓ (максимум)

Арифметикалық прогрессия

aₙ = a₁ + (n−1)d

n-ші мүше

Sₙ = n(a₁+aₙ)/2

n мүшенің қосындысы

d = aₙ − aₙ₋₁

Айырым

Геометриялық прогрессия

bₙ = b₁ · q^(n−1)

n-ші мүше

Sₙ = b₁(qⁿ−1)/(q−1)

Қосынды (q ≠ 1)

q = bₙ/bₙ₋₁

Еселік

Шексіз кему: егер |q| < 1, S∞ = b₁/(1−q)

Тригонометрия

sin = қарсы/гип

Синус

cos = жанасу/гип

Косинус

tg = sin/cos

Тангенс

sin²α + cos²α = 1

Негізгі тепе-теңдік

Кесте:
sin 30° = ½, cos 30° = √3/2
sin 45° = cos 45° = √2/2
sin 60° = √3/2, cos 60° = ½
sin 90° = 1, cos 0° = 1

Ықтималдық

P(A) = m/n

Классикалық анықтама

0 ≤ P(A) ≤ 1

P шегі

Есте сақта:
P = 0 — мүмкін емес оқиға
P = 1 — ақиқат оқиға
P(A) + P(не A) = 1

6-бөлім

Қызықты

Тарихи фактілер және оқиғалар

🧒

Гаусс — кіші Гаусстың әдемі әдісі

9 жасар Карл Фридрих Гаусс (XVIII ғ.) мектепте 1+2+3+...+100 қосындысын бір минутта тапқан! Ол ойлап тапты: 1+100=101, 2+99=101, ... осындай 50 жұп бар → 50·101 = 5050. Осыдан арифметикалық прогрессия формуласы шықты!

🇰🇿

Әл-Фараби тригонометриясы

Отырарда туған Әл-Фараби (870-950) тригонометрияны дамытқан ұлы ғалымдардың бірі. Ол синус пен косинус кестелерін жасаудың әдістерін негіздеген. Оның еңбектері мың жыл бойы Шығыс пен Батыс ғалымдары үшін негіз болды!

📐

«Тригонометрия» сөзі — гректен

«Тригонометрия» — грек тілінен «trigonon» (үшбұрыш) + «metron» (өлшеу). Бұл «үшбұрышты өлшеу» дегенді білдіреді. Қызық: sin сөзі араб тіліндегі «джайб» (ою) сөзінен шыққан — латынша қате аударылған!

🌾

Үнді патшасы мен бидай

Ежелгі үнді аңызы: шахмат ойлап тапқан адам сыйақы ретінде геометриялық прогрессия сұрады — әр шаршыға 2 есе көп бидай (1, 2, 4, 8, 16, ...). 64 шаршыдағы жалпы саны — 18 квинтиллион дән! Бұл бүкіл әлемдегі бидайдан көп!

🎲

Ықтималдық — XVII ғасырда туған

Ықтималдықтар теориясы 1654 жылы туылды. Француз математиктер Паскаль және Ферма құмар ойнаушы досының сұрағына жауап беріп жатып, осы теорияның негізін салды. Бүгін ықтималдық — статистика, физика, медицина мен IT-нің негізі!