Бағдарлама

8 сынып

Квадрат теңдеулер, Пифагор теоремасы, ұқсас үшбұрыштар, теңсіздіктер

Бөлімдер

1-бөлім

Теория

8 сынып бағдарламасының барлық тақырыптары

x²

Квадрат теңдеулер

ax² + bx + c = 0 түріндегі теңдеу — квадрат теңдеу. Дискриминант арқылы шешеміз: D = b² − 4ac.

D = b² − 4ac
x = (−b ± √D) / 2a

D > 0 — 2 түбір
D = 0 — 1 түбір
D < 0 — түбір жоқ

V

Виет теоремасы

Келтірілген квадрат теңдеу x² + px + q = 0 түбірлерін табу үшін.

x₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = q

x² − 5x + 6 = 0 → түбірлер 2 және 3 (2+3=5, 2·3=6)

△

Пифагор теоремасы

Тікбұрышты үшбұрышта гипотенуза квадраты катеттер квадраттарының қосындысына тең.

a² + b² = c²

a = 3, b = 4 → c² = 9 + 16 = 25 → c = 5

∼

Ұқсас үшбұрыштар

Бұрыштары тең, қабырғалары пропорционалды үшбұрыштар — ұқсас. Ұқсастық белгілері: ББ, ҚБҚ, ҚҚҚ.

a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ = k

k — ұқсастық коэффициенті. Аудандар қатынасы — k²

≠

Теңсіздіктер

Теңсіздіктерді шешу теңдеулерге ұқсас, бірақ теріс санға көбейткенде/бөлгенде белгі ауысады!

a · b: егер a > 0 болса, < қалады
егер a < 0 болса, > болады

−2x > 6 → x < −3 (белгі ауысты!)

√

Квадрат түбір

√a — теріс емес сан, оның квадраты a-ға тең. Тек оң сандардан квадрат түбір алуға болады.

√(a · b) = √a · √b
√(a/b) = √a / √b

√16 = 4, √(9·4) = 3·2 = 6, √50 = 5√2

2-бөлім

Жаттығулар

Алдымен өзің шеш, содан кейін жауапты қара

1-есеп

Квадрат теңдеуді шеш: x² − 5x + 6 = 0

Жауап

x₁ = 2, x₂ = 3
D = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1)/2 → 3 және 2

2-есеп

Виет теоремасы бойынша түбірлерді тап: x² − 7x + 12 = 0

Жауап

x₁ = 3, x₂ = 4
x₁ + x₂ = 7, x₁ · x₂ = 12
3 + 4 = 7, 3 · 4 = 12 ✓

3-есеп

Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері 6 және 8. Гипотенузасы қанша?

Жауап

c = 10
c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10

4-есеп

Теңсіздікті шеш: 3x − 9 ≥ 0

Жауап

x ≥ 3
3x ≥ 9 → x ≥ 3
(3 — оң сан, белгі ауыспайды)

5-есеп

Квадрат түбірді есепте: √72

Жауап

6√2
√72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2

6-есеп

Дискриминантты тап: 2x² − 4x + 3 = 0. Түбірлері бар ма?

Жауап

D = −8, түбірлері жоқ
D = (−4)² − 4·2·3 = 16 − 24 = −8
D < 0 — нақты түбірлері жоқ

3-бөлім

Тест

8 сұрақ, автоматты тексеру

1 / 8

Сұрақ 1

Тест аяқталды!

0 / 8

4-бөлім

Калькулятор

Квадрат теңдеуді шеш немесе Пифагор бойынша гипотенузаны тап

a, b, c коэффициенттерін енгіз

x² − 5x + 6 = 0

Нәтиже

x₁ = 3, x₂ = 2

D = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) / 2

2 қабырғаны енгіз — 3-шісін тап. Бос қалдыруға болады.

a² + b² = c²

Нәтиже

c = 5

c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
c = √25 = 5

5-бөлім

Шпаргалка

Бақылау жұмысы алдында тез қарап шық

Квадрат теңдеулер

ax² + bx + c = 0

Стандарт түрі

D = b² − 4ac

Дискриминант

x = (−b ± √D)/2a

Түбірлер формуласы

D > 0 — 2 түбір
D = 0 — 1 түбір
D < 0 — түбірі жоқ

Виет теоремасы

x₁ + x₂ = −p

Түбірлердің қосындысы

x₁ · x₂ = q

Түбірлердің көбейтіндісі

Лайфхак: жай теңдеуді (a=1) Виетпен 5 секундта шешуге болады! «Қандай 2 сан +5, ×6?» — 2 және 3.

Пифагор теоремасы

a² + b² = c²

Гипотенуза квадраты

c = √(a² + b²)

Гипотенузаны табу

a = √(c² − b²)

Катетті табу

Пифагор үштіктері:
(3, 4, 5), (5, 12, 13)
(8, 15, 17), (7, 24, 25)

Квадрат түбір

√(a · b) = √a · √b

Көбейтіндінің түбірі

√(a/b) = √a / √b

Бөліндінің түбірі

(√a)² = a

Түбірдің квадраты

Жадта ұста: √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10, √144=12

Теңсіздіктер

a > b ⟹ a+c > b+c

Қосуда белгі сақталады

a > b, k < 0

ak < bk (белгі ауысады!)

Ең басты ереже: теріс санға көбейткенде/бөлгенде теңсіздік белгісі ауысады! Бұл — ең жиі қателік.

6-бөлім

Қызықты

Тарихи фактілер және оқиғалар

📐

Пифагор және оның мектебі

Пифагор (б.э.д. VI ғ.) — грек философы және математигі. Ол өз мектебінде «барлық нәрсе сан» деп үйреткен. Өзі жазған еңбегі жоқ — ілімдерін шәкірттері жеткізген. Қызық: пифагоршылар √2 иррационал сан екенін ашқанда қатты қорыққан, бұл жаңалықты жасырып ұстады!

🇰🇿

Әл-Фараби — Отырар ұлы

Әл-Фараби (870-950) Отырарда туылған! Ол алгебра, геометрия, музыка теориясы бойынша көптеген еңбектер жазды. Оны «Екінші ұстаз» деп атаған (Аристотельден кейін). Квадрат теңдеулерді шешу әдістерін одан әрі дамытқан!

🧮

Виет — алгебраның негізін салушы

Франсуа Виет (1540-1603) — француз математигі. Ол әріптерді символ ретінде енгізіп, алгебра тілін жасады. Виет теоремасы дискриминантсыз түбірлерді табуға мүмкіндік береді. Ол сонымен бірге құпия хаттарды ашатын маман болған!

∞

Иррационал сандар

√2 ≈ 1.414213... — иррационал сан, оның ондық жазылуы шексіз және периодты емес! Тағы белгілі иррационал сандар: π ≈ 3.14159, e ≈ 2.71828, φ ≈ 1.618 (алтын қатынас).

🏛

Пифагор үштігі — қайдан?

Пифагор теоремасына дейін 1000 жыл бұрын вавилондықтар (б.э.д. 1800 ж.) а² + b² = c² қатынасын білген! «Плимптон 322» атты глина тақтасында 15 пифагор үштігі жазылған. Ол кезде формуласы болмаса да, заңдылықты ашқан!