Бағдарлама

6 сынып

Бөлшектермен амалдар, пропорциялар, теріс сандар, координаталық жазықтық

Бөлімдер

1-бөлім

Теория

6 сынып бағдарламасының барлық тақырыптары

×

Бөлшектерді көбейту және бөлу

Бөлшектерді көбейту үшін алымды алымға, бөлгішті бөлгішке көбейтеміз. Бөлу үшін екінші бөлшекті аударып, көбейту жасаймыз.

a/b · c/d = ac/bd
a/b : c/d = a/b · d/c

2/3 · 3/4 = 6/12 = ½
1/2 : 1/4 = 4/2 = 2

∶

Қатынас және пропорция

Қатынас — екі санның бөліндісі (a : b). Пропорция — екі қатынастың теңдігі. Пропорцияда шеткі мүшелердің көбейтіндісі ортаңғыларға тең.

a/b = c/d ⟹ a · d = b · c

3/4 = x/8 → 3·8 = 4·x → x = 6

↔

Тура және кері пропорция

Тура: бір шама артса, екіншісі де артады. Кері: бір шама артса, екіншісі сонша есе азаяды.

Тура: 1 кг — 500 тг, 3 кг — 1500 тг
Кері: 2 жұмысшы — 6 сағ, 6 жұмысшы — 2 сағ

−

Теріс сандар

Нөлден кіші сандар — теріс сандар. Бүтін сандар: ...−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3... Модуль |a| — нөлден қашықтығы, әрқашан оң.

|−5| = 5, (−)·(−) = (+), (−)·(+) = (−)

−5 + 3 = −2, −7 − 2 = −9, −4 · (−3) = 12

⊥

Координаталық жазықтық

Декарт жүйесі: Ox — горизонталь ось, Oy — вертикаль ось. Жазықтық 4 ширекке бөлінеді. Нүкте координаталары (x; y).

A(3; 5) — I ширек. B(−2; 4) — II ширек.
C(−3; −2) — III ширек. D(4; −1) — IV ширек.

=

Сызықтық теңдеулер

Айнымалысы бар теңдеулер. Бір жағынан екінші жағына көшіргенде таңба өзгереді.

ax + b = 0 ⟹ x = −b/a

2x + 3 = 11 → 2x = 8 → x = 4

2-бөлім

Жаттығулар

Алдымен өзің шеш, содан кейін жауапты қара

1-есеп

⅗ · ⅔ есепте. Жауапты қарапайым түрге келтір.

Жауап

2/5
3/5 · 2/3 = 6/15 = 2/5

2-есеп

Пропорцияны шеш: x/12 = 5/4

Жауап

x = 15
x · 4 = 12 · 5 → 4x = 60 → x = 15

3-есеп

3 жұмысшы үй салуды 12 күнде бітіреді. 4 жұмысшы оны қанша күнде бітіреді?

Жауап

9 күнде
Кері пропорция: 3·12 = 4·x → x = 36/4 = 9

4-есеп

Есепте: −8 + 5 − (−3)

Жауап

0
−8 + 5 + 3 = −3 + 3 = 0

5-есеп

A(−3; 4), B(2; 4), C(2; −1), D(−3; −1) нүктелері берілген. Қандай фигура және ауданы қанша?

Жауап

Квадрат, S = 25
Қабырғасы: 2−(−3) = 5. S = 5 · 5 = 25

6-есеп

Теңдеуді шеш: 3x − 7 = 2x + 5

Жауап

x = 12
3x − 2x = 5 + 7 → x = 12

3-бөлім

Тест

8 сұрақ, автоматты тексеру

1 / 8

Сұрақ 1

Тест аяқталды!

0 / 8

4-бөлім

Калькулятор

Пропорцияларды шеш, бөлшектермен амалдар жаса

Пропорция: a/b = c/x — x табу

=

Нәтиже

x = 12

3·x = 4·9 → x = 36/3 = 12

Екі бөлшекпен амал жаса

Нәтиже

11/12

≈ 0.917

5-бөлім

Шпаргалка

Бақылау жұмысы алдында тез қарап шық

Бөлшектер

a/b · c/d = ac/bd

Көбейту

a/b : c/d = ad/bc

Бөлу (2-шісін аударып көбейту)

a/b + c/b = (a+c)/b

Тең бөлгіштер

Лайфхак: алдымен қысқартып, содан көбейту әлдеқайда оңай!

Пропорция

a/b = c/d

Пропорция

a · d = b · c

Негізгі қасиет

Есте сақта: тура пропорция — бірге өсе/кеми, кері пропорция — біреуі өссе, екіншісі кемиді.

Теріс сандар

|a| ≥ 0

Модуль әрқашан оң

(−) · (−) = (+)

Минус · минус = плюс

(−) · (+) = (−)

Минус · плюс = минус

a − (−b) = a + b

Минусты алу = плюсты қосу

Координаттар

(x; y)

Нүкте координаталары

4 ширек:
I: x > 0, y > 0
II: x < 0, y > 0
III: x < 0, y < 0
IV: x > 0, y < 0

Теңдеулер

ax + b = 0

Сызықтық теңдеу

x = −b/a

Түбірі

Ереже: бір жағынан екінші жағына көшіргенде таңба өзгереді.

6-бөлім

Қызықты

Тарихи фактілер және оқиғалар

📐

Декарт және координат жүйесі

Координаталық жазықтықты француз ғалымы Рене Декарт 1637 жылы ойлап тапты. Аңыз бойынша ол төсекте жатып, төбедегі шыбынды бақылап жүргенде оның орнын екі санмен сипаттауға болатынын байқаған.

🔢

Теріс сандар тарихы

Теріс сандарды қытайлар б.э.д. 200 жылы пайдаланды (қызыл — оң, қара — теріс). Еуропа оларды тек XVII ғасырда қабылдады! Декарт оларды «жалған сандар» деп атаған.

🇰🇿

Әл-Хорезми және алгебра

Әл-Хорезми (IX ғ.) теңдеулерді шешу әдістерін жүйеледі. Оның «әл-жабр» атты кітабы — алгебраның негізі. Кітабындағы «бір жағынан екіншісіне көшіру» әдісі — әлі күнге дейін қолданылады!

💰

Пропорция өмірде

Пропорцияны күн сайын қолданамыз: картаны масштабтау, асхана рецептері, валюта айырбасы, құрылыс сызбалары. Тіпті фото-видео 16:9 пропорциясында жасалады!

🎯

«Алтын қатынас»

Табиғаттағы ең әсем пропорция — алтын қатынас 1 : 1.618. Ол гүлдерде, үлулардың қабығында, тіпті адам бетінің симметриясында кездеседі! Ежелгі грек храмдары да осы пропорцияда салынған.