Бағдарлама

11 сынып

Туынды, интеграл, комбинаторика, Ньютон биномы — ҰБТ-ға дайындық

Бөлімдер

1-бөлім

Теория

11 сынып бағдарламасының барлық тақырыптары

f'

Туынды

Туынды — функцияның өзгеру жылдамдығы. f'(x) — нүктедегі жанасу түзуінің бұрыштық коэффициенті.

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
(sin x)' = cos x
(cos x)' = −sin x
(eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x

(x³)' = 3x²
(x² + 5x)' = 2x + 5

d

Туынды ережелері

Күрделі функциялардың туындысын табу ережелері.

(u+v)' = u' + v'
(u·v)' = u'·v + u·v'
(u/v)' = (u'v − uv')/v²
(f(g))' = f'(g) · g'

(x²·sin x)' = 2x·sin x + x²·cos x

∫

Анықталмаған интеграл

Интеграл — туындыға кері амал. F(x) алғашқы функция, F'(x) = f(x).

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
∫ sin x dx = −cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ eˣ dx = eˣ + C

∫ x² dx = x³/3 + C
∫ (2x + 3) dx = x² + 3x + C

S

Анықталған интеграл

Ньютон-Лейбниц формуласы. S — қисық сызықпен шектелген фигура ауданы.

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3

n!

Комбинаторика

Орналастырулар, орын ауыстырулар, терулер — заттарды реттеу мен таңдау тәсілдерінің саны.

Pₙ = n!
Aₙᵏ = n!/(n−k)!
Cₙᵏ = n!/(k!·(n−k)!)

5! = 120
C₅² = 10 (5 заттан 2-ні таңдау)

(a+b)ⁿ

Ньютон биномы

(a+b)ⁿ жайып шығарудың әмбебап формуласы. Коэффициенттер — Паскаль үшбұрышы.

(a+b)ⁿ = Σ Cₙᵏ · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴
Коэф: 1, 4, 6, 4, 1

2-бөлім

Жаттығулар

Алдымен өзің шеш, содан кейін жауапты қара

1-есеп

Туындысын тап: f(x) = x³ + 2x² − 5x + 1

Жауап

f'(x) = 3x² + 4x − 5
(x³)' = 3x², (2x²)' = 4x, (5x)' = 5, (1)' = 0

2-есеп

Туындысын тап: f(x) = sin x · cos x

Жауап

f'(x) = cos 2x
(uv)' = u'v + uv'
= cos x · cos x + sin x · (−sin x)
= cos²x − sin²x = cos 2x

3-есеп

Интегралды есепте: ∫ (3x² + 4x) dx

Жауап

x³ + 2x² + C
∫3x² dx = x³
∫4x dx = 2x²

4-есеп

Есепте: ∫₀¹ (2x + 1) dx

Жауап

2
F(x) = x² + x
F(1) − F(0) = (1+1) − 0 = 2

5-есеп

10 кітаптан 3-ні неше тәсілмен таңдауға болады?

Жауап

C₁₀³ = 120
C₁₀³ = 10!/(3!·7!) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120

6-есеп

Ньютон биномы бойынша жайып шығар: (x+2)³

Жауап

x³ + 6x² + 12x + 8
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
a=x, b=2 → x³ + 3x²·2 + 3x·4 + 8

3-бөлім

Тест

8 сұрақ, автоматты тексеру

1 / 8

Сұрақ 1

Тест аяқталды!

0 / 8

4-бөлім

Калькулятор

Көпмүшенің туындысын тап немесе комбинаторика есепте

Көпмүше: ax³ + bx² + cx + d

a (x³)

b (x²)

c (x)

d

f(x) = x³ + 2x² − 5x + 1

Нәтиже

f'(x) = 3x² + 4x − 5

(x³)' = 3x², (2x²)' = 4x, (−5x)' = −5, (1)' = 0

Амалды таңда

Нәтиже

C₁₀³ = 120

C₁₀³ = 10!/(3!·7!) = 120

5-бөлім

Шпаргалка

ҰБТ алдында тез қарап шық

Туынды кестесі

(xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹

Дәрежелік функция

(C)' = 0

Тұрақты сан

(sin x)' = cos x

Синус

(cos x)' = −sin x

Косинус

(eˣ)' = eˣ

Экспонента

(ln x)' = 1/x

Натурал логарифм

Туынды ережелері

(u + v)' = u' + v'

Қосынды

(u·v)' = u'v + uv'

Көбейтінді

(u/v)' = (u'v − uv')/v²

Бөлінді

(k·u)' = k·u'

Сан · функция

Қолданысы:
• f'(x₀) — жанасу түзуінің көлбеуі
• f'(x) = 0 — экстремум нүктесі
• f'(x) > 0 — өсу аралығы

Интегралдар кестесі

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

Дәрежелік (n ≠ −1)

∫ 1/x dx = ln|x| + C

Кері функция

∫ sin x dx = −cos x + C

Синус

∫ cos x dx = sin x + C

Косинус

∫ eˣ dx = eˣ + C

Экспонента

Ньютон-Лейбниц: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
Аудан = қисық сызықпен шектелген фигура

Комбинаторика

n! = 1·2·3·...·n

Факториал, 0! = 1

Pₙ = n!

Орын ауыстырулар

Aₙᵏ = n!/(n−k)!

Орналастырулар (рет маңызды)

Cₙᵏ = n!/(k!·(n−k)!)

Терулер (рет маңызды емес)

Айырмашылық:
• A — рет маңызды (мысалы, бағдарлама)
• C — рет маңызды емес (мысалы, команда)
• Cₙᵏ = Cₙⁿ⁻ᵏ — қасиет

Ньютон биномы

(a+b)ⁿ = Σ Cₙᵏ aⁿ⁻ᵏ bᵏ

Жалпы формула

(a+b)² = a²+2ab+b²

2-ші дәреже

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

3-ші дәреже

Паскаль үшбұрышы:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1

6-бөлім

Қызықты

Тарихи фактілер және оқиғалар

🍎

Ньютон және Лейбниц — таласы

Исаак Ньютон (Англия) және Готфрид Лейбниц (Германия) жеке-жеке, бір-бірін білмей математикалық анализді ашты (XVII ғ.)! Кейін олардың арасында 30 жылдық таласы басталды — кім бірінші ашты деген сұрақпен. Бүгін екеуінің де қосқан үлесі мойындалған.

🇰🇿

Әл-Хорезми — алгоритм

«Алгоритм» сөзі Орта Азиядан шыққан Әл-Хорезминің (IX ғ.) атымен байланысты. Оның есімі латынша «Algorithmi» деп жазылды. Бүгін бұл сөз компьютерлік бағдарламалаудың негізі! Әл-Хорезми Бағдадтағы «Даналық үйінде» жұмыс істеді.

△

Паскаль үшбұрышы

Блез Паскаль (1623-1662) Ньютон биномының коэффициенттерін көрсететін үшбұрыш жасады. Қызық: Қытайда оны «Ян Хуэй үшбұрышы» деп атаған — Паскальдан 500 жыл бұрын белгілі болған! Үшбұрышта Фибоначчи сандары, жай сандар туралы заңдылықтар бар.

∞

Эйлер — Тарихтағы ең өнімді математик

Леонард Эйлер (1707-1783) — Тарихтағы ең өнімді математик. Оның 900-ден астам еңбегі бар! Соңғы 17 жылы соқыр болса да, жұмысын жалғастырған. Эйлер формуласы: eⁱᵖⁱ + 1 = 0 — математиканың ең әдемі теңдеуі деп аталады.

🎲

Комбинаторика IT-да

Комбинаторика — заманауи криптографияның, машиналық оқытудың және деректер қорының негізі. RSA шифрлау, лотерея ықтималдықтары, шахмат позицияларын есептеу — бәрі комбинаториканың арқасы! Шахмат тақтасында мүмкін позициялар саны әлемдегі атомдардан көп.