Бағдарлама

10 сынып

Логарифмдер, тригонометрия, стереометрия, көрсеткіштік функция

Бөлімдер

1-бөлім

Теория

10 сынып бағдарламасының барлық тақырыптары

aˣ

Көрсеткіштік функция

y = aˣ түріндегі функция (a > 0, a ≠ 1). a > 1 болса өсуші, 0 < a < 1 болса кемуші.

aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ
(aˣ)ʸ = aˣʸ
a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ

2³ · 2⁵ = 2⁸ = 256
(3²)⁴ = 3⁸ = 6561

log

Логарифмдер

logₐ b = x ⟺ aˣ = b. Логарифм — қандай дәрежеге а-ны көтерсе b болатын сан.

logₐ(xy) = logₐx + logₐy
logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
logₐ xⁿ = n·logₐx

log₂ 8 = 3 (2³ = 8)
log₃ 81 = 4 (3⁴ = 81)
log 100 = 2 (он. лог.)

∠

Тригонометрия формулалары

Қосынды/айырманың және қос бұрыштың формулалары — есептерді шешудің кілті.

sin(α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
cos(α+β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
sin 2α = 2·sinα·cosα

sin 75° = sin(45°+30°)
= (√6 + √2)/4

↺

Тригонометриялық теңдеулер

sin x = a, cos x = a, tg x = a теңдеулері. Шешімдер шексіз көп, периодпен қайталанады.

sin x = a: x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn
cos x = a: x = ±arccos a + 2πn
tg x = a: x = arctg a + πn

sin x = ½ → x = π/6 + 2πn
немесе x = 5π/6 + 2πn

▣

Призма мен цилиндр

Призма — табандары параллель көпбұрыштар. Цилиндр — табандары шеңбер.

Призма: V = Sтаб · h
Цилиндр: V = πr²h
Sбүйір (цил) = 2πrh

Куб қабырғасы a:
V = a³, S = 6a²

△

Пирамида мен конус

Пирамида — табанынан төбеге дейін. Конус — табаны шеңбер. Олардың көлемі ⅓ призма/цилиндрден.

Пирамида: V = ⅓·Sтаб·h
Конус: V = ⅓·πr²h
Sбүйір (кон) = πrl

Конус r=3, h=4:
V = ⅓·π·9·4 = 12π

2-бөлім

Жаттығулар

Алдымен өзің шеш, содан кейін жауапты қара

1-есеп

Есепте: log₂ 32

Жауап

5
log₂ 32 = log₂ 2⁵ = 5

2-есеп

Теңдеуді шеш: 3ˣ = 81

Жауап

x = 4
3ˣ = 3⁴ → x = 4

3-есеп

Жинақы: log 4 + log 25

Жауап

2
log 4 + log 25 = log(4·25) = log 100 = 2

4-есеп

Шеш: sin x = ½ (0 ≤ x ≤ 2π)

Жауап

x = π/6, 5π/6
sin x = ½ → x = π/6 немесе x = 5π/6

5-есеп

Цилиндрдің радиусы r = 3, биіктігі h = 5. Көлемі?

Жауап

V = 45π ≈ 141.4
V = πr²h = π·9·5 = 45π

6-есеп

Конустың табан радиусы r = 6, биіктігі h = 8. Көлемі?

Жауап

V = 96π ≈ 301.6
V = ⅓·πr²h = ⅓·π·36·8 = 96π

3-бөлім

Тест

8 сұрақ, автоматты тексеру

1 / 8

Сұрақ 1

Тест аяқталды!

0 / 8

4-бөлім

Калькулятор

Логарифм мен стереометрия фигураларының көлемі

logₐ b — кез келген негіздегі логарифм

a (негіз)

b

log₂ 8 = ?

Нәтиже

log₂ 8 = 3

2³ = 8 (өйткені 2·2·2 = 8)

Фигураны таңда

Нәтиже

V = ?

—

5-бөлім

Шпаргалка

Бақылау жұмысы алдында тез қарап шық

Көрсеткіштік функция

aˣ · aʸ = aˣ⁺ʸ

Дәрежелер көбейтіндісі

aˣ / aʸ = aˣ⁻ʸ

Дәрежелер бөліндісі

(aˣ)ʸ = aˣʸ

Дәрежені дәрежеге

a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ

Нөл мен теріс дәреже

Логарифмдер

logₐ b = x ⟺ aˣ = b

Анықтама

logₐ(xy) = logₐx + logₐy

Көбейтінді

logₐ(x/y) = logₐx − logₐy

Бөлінді

logₐ xⁿ = n·logₐx

Дәреже

Есте сақта:
logₐ 1 = 0, logₐ a = 1
lg = log₁₀ (ондық)
ln = logₑ (натурал, e ≈ 2.718)

Тригонометрия формулалары

sin(α±β) = sinα cosβ ± cosα sinβ

Қосынды/айырма

cos(α±β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ

Қосынды/айырма

sin 2α = 2 sinα cosα

Қос бұрыш

cos 2α = cos²α − sin²α

Қос бұрыш

Триг. теңдеулер

sin x = a

x = (−1)ⁿ arcsin a + πn

cos x = a

x = ±arccos a + 2πn

tg x = a

x = arctg a + πn

Дербес жағдайлар:
sin x = 0 → x = πn
cos x = 0 → x = π/2 + πn
sin x = 1 → x = π/2 + 2πn

Стереометрия

Vкуб = a³

Куб көлемі

Vприз = Sтаб · h

Призма көлемі

Vцил = πr²h

Цилиндр көлемі

Vпир = ⅓ Sтаб · h

Пирамида көлемі

Vкон = ⅓ πr²h

Конус көлемі

Vшар = ⁴⁄₃ πr³

Шар көлемі

Бүйір беті:
Цилиндр: Sбүйір = 2πrh
Конус: Sбүйір = πrl (l — жасаушы)
Шар: S = 4πr²

6-бөлім

Қызықты

Тарихи фактілер және оқиғалар

📔

Логарифмді кім ойлап тапты?

Логарифмдерді Джон Непер (1550-1617) шотланд математигі ойлап тапты. Оған 20 жыл кетті! Сол кезде астрономдар үлкен сандарды көбейтуге айлап уақыт жұмсайтын — логарифм арқылы көбейту қосуға айналды. Бұл революция болды!

🇰🇿

Әл-Хорезми мен Әл-Фараби

Орта Азиядан шыққан Әл-Хорезми (IX ғ.) тригонометрияны Еуропаға таныстырды. Ал Әл-Фараби (870-950, Отырар) тригонометриялық кестелерді жасады. Бұл екеуінің еңбегі өзара толықтырушы — Шығыс ғылымының алтын дәуірі!

🔢

«e» — математикалық тұрақты

Сан e ≈ 2.71828 — табиғи логарифмнің негізі. Оны Эйлер енгізді (XVIII ғ.). Бұл иррационал сан, бірақ табиғатта жиі кездеседі: радиоактивті ыдырау, банктің пайызы, популяция өсімі — бәрі e-мен сипатталады!

🏛

Архимед және цилиндр

Архимед (б.э.д. III ғ.) шар көлемін цилиндр көлемімен байланыстырды: бір цилиндрге сыятын шардың көлемі — цилиндрдің ⅔-сі! Бұл жаңалықпен ол ерекше қуанып, өзінің құлпытасына шар мен цилиндрді ойып жазуды сұраған.

📐

Птолемей кестесі

Александриялық астроном Птолемей (II ғ.) хордалардың кестесін жасады — бұл алғашқы тригонометриялық кестелердің бірі! Оны «Алмагест» кітабында жариялады. Бұл кесте арабтар арқылы Еуропаға жетті және 1500 жыл бойы қолданылды!